RELATION

Trois propriétés générales permettent de caractériser les relations :

— Réciprocité ou symétrie : La relation qui lie a à b lie-t-elle b à a ?
Considérons les relations P “– être le père de –” et F “– être le frère ou la sœur de –”

si a est le père de b, b n’est pas le père de a
P n’est pas symétrique

si a est le frère ou la sœur de b, alors b est le frère ou la sœur de a
F est symétrique

— Réflexivité : La relation lie-t-elle a à lui-même ?

La relation P n’est pas réflexive, personne n’est son propre père.
La relation d’égalité E “– être égal à –” est réflexive :

a est égal à a

— Transitivité : Si la relation lie a à b et b à c lie-t-elle a à c ?

Les ennemis de mes ennemis sont mes amis : l’inimitié proverbiale n’est pas transitive,
Si a est l’ennemi de b et b l’ennemi de c, alors a est l’ami de c.

Les amis de mes amis sont mes amis : l’amitié proverbiale est transitive,
si a est l’ami de b et b l’ami de c, alors c est l’ami de a

Les inférences fondées sur ces propriétés font partie des évidences généralement inaperçues (faisant consensus) exploitées par l’argumentation quotidienne. Savoir jongler avec la réciprocité, la réflexivité et la transitivité, c’est savoir parler sa langue, compétence qui sera redéfinie et développée par l’éducation mathématique.

Soit la relation de termes opposés corrélatifs, par exemple : “mère – fille”. Cette relation
— est symétrique : a est la mère de sa fille b et b est la fille de sa mère a
— n’est pas réflexive : personne n’est sa propre mère
— n’est pas transitive : a la mère de  b et b la mère de c, a est la grand’mère de c.