CONNECTEURS LOGIQUES
La logique des propositions inanalysées raisonne sur des propositions notées P, Q… combinées au moyen de connecteurs (logiques). Elle définit une syntaxe, c’est-à-dire les règles de construction, à l’aide des connecteurs, de propositions complexes bien formées, à partir de propositions simples ou de propositions complexes elles-mêmes bien formées. Elle détermine, parmi ces formules, lesquelles sont des formules valides (lois logiques ; tautologies), au moyen de tables de vérité.
La comparaison des connecteurs langagiers aux connecteurs logiques permet de faire ressortir et de mieux comprendre la spécificité des uns et des autres.
La logique des propositions inanalysées détermine ainsi la validité de certains raisonnements qui peuvent être étudiés sans que l’on ait à prendre en compte la structure interne des propositions qui les composent.
La logique des prédicats étudie la validité des raisonnements syllogistiques prenant en compte des propositions analysées dans une structure sujet-prédicat.
1. Connecteur logique binaire et tables de vérité
Les connecteurs logiques binaires combinent deux propositions, P, Q simples ou complexes, pour former une nouvelle proposition complexe “P connec Q”. Ils empruntent leurs signifiants oraux aux conjonctions de coordination et de subordination. Il existe théoriquement 16 connecteurs binaires ; on utilise les connecteurs binaires suivants :
~ connecteur d’équivalence des propositions
→ connecteur implicatif, implication, lu “si — alors —”
& connecteur conjonctif, conjonction, lu “et”
V connecteur disjonctif, disjonction, lu “ou”,
W connecteur disjonctif exclusif, disjonction exclusive, lu “ou exclusif”.
La négation est parfois appelée connecteur unaire, V. Proposition.
Du point de vue syntaxique, les connecteurs logiques sont placés entre les deux propositions qu’ils conjoignent et dont ils sont indépendants. La syntaxe des connecteurs linguistiques est beaucoup plus complexe. Par exemple, et, ou… sont relativement indépendants des propositions qu’ils combinent, alors que mais, parce que, sont attachés à la proposition qui les suit, non pas à celle qui les précède ; donc peut être placé entre le sujet et le prédicat de la proposition qu’il gouverne.
Un connecteur binaire est défini par la table de vérité qui lui est associée. La table de vérité d’un connecteur binaire est un tableau à trois colonnes et à cinq lignes. Les lettres P, Q… sont utilisées pour noter les propositions ; les lettres V (vrai) et F (faux) pour noter les valeurs de vérité.
Colonnes
La première colonne correspond aux valeurs de vérité de la proposition P.
La seconde aux valeurs de vérité de la proposition Q,
La troisième aux valeurs de vérité de la proposition complexe formée par le connecteur, soit “P connec Q”
Lignes
La première ligne mentionne toutes les propositions à prendre en compte, “P” “Q” et “P connec Q”. Les quatre lignes suivantes correspondent aux quatre possibilités, lorsque P est V, Q peut être V ou F ; de même, lorsque P est F, Q peut être V ou F (ce ou est exclusif).
Sont ainsi réalisées les quatre combinaisons des valeurs de vérité possibles des deux propositions.
La présentation rudimentaire ssuivante des connecteurs logique est accompagnée de quelques éléments de comparaison avec le ou les connecteurs langagiers qui leur sont associés par leur signifiant oral.
2. Équivalence logique et paraphrase linguistique
L’équivalence logique est notée ‘ ~ ’ ; “P ~ Q” est lu “P est équivalent à Q”.
La proposition complexe ‘P ~ Q’ est vraie si et seulement si les propositions P et Q ont les mêmes valeurs de vérité. C’est ce qu’exprime la table de vérité suivante :
| P | Q | P ~ Q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | F |
En logique, les propositions sont des îlots de vérité, et toutes les propositions vraies sont équivalentes entre elles, toutes les propositions fausses sont équivalentes entre elles, quelle que soit leur signification. Du point de vue de leur valeur de vérité, “Pékin est la capitale de la Chine” est équivalent à “2 et 2 font 4”.
On est très loin de l’équivalence linguistique, de la paraphrase et de la reformulation, qui demandent la préservation du sens.
3. Conjonction ‘ & ’ et connecteurs langagiers et, mais, or, pourtant…
La conjonction “P & Q”, lue “P et Q” est vraie si et seulement si P est vraie et Q est vraie. C’est ce qu’exprime la table de vérité suivante :
| P | Q | P & Q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Le connecteur logique ‘ & ’ impose seulement que les propositions qu’il conjoint soient l’une et l’autre vraies. Dans la langue ordinaire, cette propriété est commune à de très nombreux termes connecteurs, à et comme à mais, or, pourtant … et à tous les concessifs (bien que …) :
Les circonstances qui rendent vrai l’énoncé conjoint sont toujours les mêmes, savoir la vérité simultanée des deux énoncés qui le composent, et cela qu’on utilise et, mais ou bien que. L’utilisation de l’un de ces mots plutôt que d’un autre peut modifier le caractère naturel de l’expression et ainsi fournir incidemment un indice sur ce qui se passe dans l’esprit du locuteur, elle demeure néanmoins incapable de faire la différence entre la vérité et la fausseté du composé. La différence de signification entre et, mais et bien que est rhétorique et non logique. La notation logique, étrangère aux distinctions rhétoriques, exprime la conjonction de manière uniforme. (Quine [1950], p. 55-56)
En d’autres termes, la logique de proposition ne dispose pas des concepts adéquats pour traiter des phénomènes d’orientation argumentative. La stratégie de Quine consiste à se débarrasser du problème en le minorant et en le déléguant à la rhétorique, vue comme une vaste poubelle à problèmes non résolus, ce qui est normal puisque la théorie logique n’a d’obligation qu’envers de la vérité.
Les propriétés sémantiques de et ont été originellement discutées non pas comme un problème grammatical, mais comme un problème logique, dans le cadre de la théorie aristotélicienne des fallacies. La conjonction langagière et, loin d’être un mot “vide”, sensible aux seules conditions de vérité, impose à son contexte des conditions sémantiques subtiles, par exemple, la sensibilité à la successivité temporelle. Si “P & Q” est vraie, alors “Q & P” l’est aussi ; mais les énoncés suivants ne contiennent pas les mêmes informations ; il ne s’agit plus de rhétorique, quel que soit le sens que l’on donne à ce mot, mais de sémantique temporelle :
Ils se marièrent et eurent beaucoup d’enfants.
Ils eurent beaucoup d’enfants et se marièrent.
On pourrait considérer que, dans certaines conditions où et porte sur des événements, son analyse logique introduit une troisième proposition “et les événements se sont succédé dans cet ordre”. En outre, la conjonction et coordonne non seulement des propositions mais également des groupes nominaux, et impose certaines contraintes sur les termes coordonnés, V. Composition.
4. Disjonction: ou exclusif ‘ W ’ ou inclusif ‘ V ’
— La disjonction exclusive “P W Q” est vraie si et seulement si l’une seulement des deux propositions qu’elle conjoint est vraie ; dans tous les autres cas, elle est fausse.
— La disjonction inclusive “P V Q” est vraie si et seulement si l’une au moins des deux propositions est vraie. Elle est fausse si et seulement si les deux propositions P et Q sont simultanément fausses ; dans tous les autres cas, elle est vraie.
C’est ce qu’expriment les tables de vérité suivantes.
Disjonction exclusive Disjonction inclusive
| P | Q | P W Q | P | Q | P V Q | |
| V | V | F | V | V | V | |
| V | F | V | V | F | V | |
| F | V | V | F | V | V | |
| F | F | F | F | F |
F |
Du point de vue du langage ordinaire, ou correspond à des situations de choix à opérer sur une gamme d’options, proposant deux ou plus de deux options possibles (choix binaire ou n-aire). Comme et, ou peut conjoindre des énoncés ou des termes, V. Composition.
Les observations suivantes portent sur quelques différences entre le ou logique et le ou conjonctif de la langue ordinaire.
4.1 Ou exclusif : Les possibles ne sont pas compossibles
Ou est dit exclusif quand on est face à deux ou plus de deux possibles, tels que la réalisation de l’un (le choix de l’un) annule l’autre ou les autres, possibilités :
— (1) Tu viens ou (tu viens) pas ?
— (2) C’est une fille ou un garçon ?
Ces questions portent sur des tautologies, “P ou non P” ; une logicienne peut répondre oui à l’une et à l’autre. La fonction de (1) est de répéter une question dont la réponse tarde, en la réduisant à sa forme logique. Le choix de l’un des termes exclut l’autre, de par la nature des choses ; je pars, mais je laisse un peu de moi ici est interprété figurativement.
(2) est exclusif binaire dans le régime des genres du XXe siècle. Il est n-aire et inclusif dans le régime des genres du XXIe siècle.
— (3) Tu peux voter pour un candidat ou voter blanc ou t’abstenir.
(4) Tu peux voter pour un candidat ou voter blanc, mais tu ne peux pas t’abstenir, sous peine d’amende
Ces énoncés présentent la gamme de choix avec 1 choix retenu sur 3 possibles, ou 1 sur 2, selon la loi du pays.
— (5) Carte ou menu ? Fromage ou dessert ?
Le choix est de 1 sur 2, en fonction de la contrainte définie par le restaurant, avec possibilité de négociation, moyennant supplément.
Le ou exclusif binaire fonctionne dans les situations d’avertissement et de menace
— Avertissement (causalité physique), on ne peut pas permuter les énoncés conjoints par ou :
(6) Cramponne-toi ou tu vas te faire éjecter
— Menace binaire ou n-aire, dont l’agent est humain :
(7) La bourse ou la vie !
(8) Alors, ce terrain, je l’achète à toi ou à ta veuve ?
(9) Tu manges ta soupe ou tu vas au lit, ou tu restes à la maison dimanche
SI tu ne manges pas ta soupe, ALORS (tu vas au lit ou tu restes à la maison dimanche)
SI (tu ne veux ni manger pas ta soupe ni aller au lit) ALORS tu restes à la maison dimanche.
4.2 Ou inclusif : plusieurs choix possibles
Ou est inclusif quand la réalisation (le choix) de l’un des possibles n’annule pas le ou les autres possibles ; les possibles sont compossibles.
Cette année, je peux aller à la pêche dimanche ou lundi
Dans ce magasin, on trouve des légumes frais, du tabac ou de l’alcool ou encore des condiments orientaux
Comme entrée, vous pouvez avoir œuf mimosa ou hareng pommes à l’huile ou… (suit une liste potentiellement longue mais toujours finie d’entrées) … ou poireau vinaigrette.
Ou exclusif correspond au régime menu. Ou inclusif correspondrait au régime buffet (qui peut être inséré dans le régime menu).
Ça s’achète dans les boutiques spécialisées, en supermarché, ou à la sauvette.
Ou est équivalent à et de fin de liste.
4.3 Ou “autrement dit”, de reformulation synonymique
Ou conjoint les termes d’une équivalence entre deux termes, par exemple un terme courant et un terme technique (ou inclusif).
Le syndrome de Meadows ou cardiomyopathie du post-partum (CMPP) est une pathologie rare et méconnue. (www.sciencedirect.com, Syndrome de Meadow, 20-12-12).
4.3 Ou sur les choses (de re) et ou sur le dire (de dicto)
Je cherche une Lamborghini Veneno ou une Ferrari Pininfarina
L’information porte sur les objets de ma recherche (de re). Même pour un locuteur financièrement à l’aise, le ou est plutôt exclusif, mais s’il est vraiment riche ou s’il s’agit d’un magasin de modèles réduits, il peut être inclusif : “Nous avons les deux !”
Pierre cherche une Lamborghini Veneno ou une Ferrari Pininfarina
Comme précédemment, le ou porte sur les objets de la recherche de Pierre (de re). Mais il peut également porter sur ce que je sais de cette recherche (de dicto) : Pierre recherche soit une Lamborghini soit une Ferrari (exclusif), mais je ne sais pas exactement laquelle. L’alternative est dans ma façon de dire, non pas dans la recherche de Pierre. Ou est imbibé de signification contextuelle.
Les connecteurs logiques sont insensibles au sens des propositions, alors que les connecteurs langagiers sont interprétés en fonction de leur propre sens et des contextes d’usage des propositions ou des éléments qu’ils conjoignent. Le connecteur langagier est seulement un élément entrant dans le calcul qui produit l’interprétation globale des énoncés qu’ils conjoignent.
5. Implication ‘→’, et paradoxes liés à la prise en compte
des seules valeurs de vérité
Le connecteur implicatif ‘ → ’ permet de former, à partir de deux expressions bien formées, P et Q, une nouvelle expression bien formée, “P → Q”. P est l’antécédent de l’implication et Q le conséquent.
La table de vérité de l’implication logique est la suivante :
| P | Q | P → Q |
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
L’implication “P → Q” est fausse si et seulement si P est vraie et Q fausse (ligne 3) ; en d’autres termes : “P → Q” est vraie si et seulement si “non (P & non-Q)” est vraie, c’est-à-dire “il n’est pas vrai que l’antécédent P soit vrai et le conséquent Q faux”.
Le faux implique n’importe quoi, le faux aussi bien que le vrai.
Le faux implique le faux (ligne 4) — Dans le langage ordinaire, cette implication correspond à l’enchaînement suivant :
Paris est en Amérique et moi je suis le pape
Les deux propositions fausses n’ont pas le même statut, la fausseté de la seconde est manifestement absurde, le et aligne les interprétations des deux propositions, affirmant ainsi l’absurdité de la première.
Le faux implique le vrai (ligne 3) — Dans le langage ordinaire, cette implication affirme paradoxalement la vérité de la coordination :
SI la lune est un fromage mou (F), ALORS Napoléon est mort à Sainte-Hélène (V)” (1)
Comme les autres connecteurs logiques, le connecteur “→” est indifférent au sens des propositions qu’il connecte ; il ne prend en considération que leurs valeurs de vérité. L’absurdité de l’enchaînement (1) en langue ordinaire fait ressortir la condition de cohérence du discours ordinaire, où une même séquence développe nécessairement une même isotopie sémantique, une même action langagière.
L’implication stricte de Lewis se propose d’éliminer le paradoxe de l’implication, en exigeant que pour que “P → Q” soit vraie, il faut que Q soit déductible de P, ce qui introduit des conditions sémantiques, outre les valeurs de vérité. Le mot de “implication” est alors pris au sens de “inférence déductive”.
L’implication ainsi définie est appelée implication matérielle ; elle n’a rien à voir avec la « logique substantielle » [substantial] de Toulmin.
Du point de vue épistémique, c’est-à-dire si l’on considère des implications entre propositions sémantiquement liées, particulièrement du point de vue causal, ou par simple successivité temporelle, toujours susceptible d’être interprétée causalement, les lois de l’implication expriment les notions de condition nécessaire et de condition suffisante :
A → B
A est une condition suffisante pour B,
B est une condition nécessaire A.
Dire que s’il pleut, la route est mouillée, c’est dire qu’il suffit qu’il pleuve pour que la route soit mouillée, et que, nécessairement, la route est mouillée quand il pleut.
6. Lois logiques
À partir de connecteurs et de propositions simples ou complexes, on peut construire des expressions propositionnelles complexes, par exemple ‘(P & Q) → R’. La vérité de l’expression complexe est uniquement fonction de la vérité de ses composantes. La méthode des tableaux de vérité permet d’évaluer ces expressions. Certaines d’entre elles sont toujours vraies ; elles correspondent à des lois logiques. Certaines lois logiques ont reçu des appellations particulières, par exemple les suivantes.
6.1 Lois de De Morgan
Les connecteurs binaires entrent dans des équivalences appelées loi de De Morgan, considérées comme des lois de la pensée ordinaire. Par exemple, les connecteurs ‘&’ et ‘V’ entrent dans les équivalences :
— “non (P V Q)” (négation d’une disjonction inclusive) est équivalent à ‘non P & non Q’ (conjonction des négations de ses composantes).
— non (P & Q) (négation d’une conjonction) est équivalent à ‘non-P V non-Q’, (disjonction des négations de ses composantes)
L’argumentation au cas par cas utilise ces lois.
6.2 Syllogisme hypothétique (ou syllogisme conditionnel)
C’est une loi logique que “si l’implication est vraie et l’antécédent vrai, alors le conséquent est vrai” ; cette loi est notée :
[(P → Q) & P] → Q
On peut également l’écrire sous forme d’une déduction en trois étapes ; on parle alors de syllogisme hypothétique, V. Raisonnement hypothétique :
P → Q s’il pleut, le sol est mouillé.
P il pleut.
donc Q le sol est mouillé.
En revanche, l’expression suivante n’est pas une loi logique ; elle correspond au paralogisme d’affirmation du conséquent :
[(P → Q) & Q] → P
Comme dans le cas des syllogismes invalides, parler ici de fallacie est de peu d’intérêt, il s’agit simplement d’une erreur de calcul.
6.3 Syllogisme conjonctif
Le syllogisme conjonctif est un syllogisme dont la majeure nie une conjonction ; elle a la forme “non (P&Q)”. La mineure affirme l’une des deux propositions, la conclusion exclut l’autre (figure dite ponendo – tollens). Dans l’écriture de l’implication :
[non (P & Q) & P] → non-Q
Sous forme de déduction :
non (P & Q) Pierre n’était pas à Londres et à Bordeaux hier à 18 h 30.
P Pierre était à Bordeaux hier à 18 h 30
donc non-Q Pierre n’était pas à Londres hier à 18 h 30
Si le prévenu affirme qu’il était à Londres et qu’on l’a vu à Bordeaux, alors il ment.
6.4 Syllogisme disjonctif
Le syllogisme disjonctif est un syllogisme dont la majeure est la négation d’une disjonction (W, ou exclusif) :
[(P W Q) & P] → non-Q
Sous forme de déduction :
R W C un candidat doit être reçu ou collé
non R ce candidat n’est pas reçu
donc C donc il est collé
Si je ne trouve pas mon nom sur la liste des reçus, c’est que je suis collé, ou qu’il y a une erreur sur la liste
Toutes ces déductions sont courantes dans la parole ordinaire, où elles fonctionnent comme des évidences sémantiques, qui passent inaperçues. L’erreur serait de considérer que, puisque ces argumentations sont valides, elles ne sont pas des argumentations, V. Probable.
7. Traduire pour évaluer
Le langage de la logique est un langage mathématique qui dépasse et oublie le langage ordinaire. Il reste qu’on peut chercher à établir la ou les expressions logiques correspondant au mieux à tel fait de langue ou de discours, ou à comparer sur tel ou tel point les langages logiques au langage naturel afin de faire ressortir les similitudes et les spécificités de chaque système (Quine [1962]). En français, ce mouvement a été inauguré par Ducrot (1966), et est particulièrement illustré par la tradition d’étude “connecteurs logiques et connecteurs linguistiques”, qui s’intéresse aux différences de comportement entre connecteurs logiques et connecteurs langagiers.
L’analyse des connecteurs logiques s’accompagne d’exercices qui peuvent être purement formels, mais aussi recevoir des « applications au langage usuel » pour « l’analyse d’arguments », y compris « d’arguments incomplets » (Kleene [1967], p. 67-80). Ces exercices, qui font pleinement partie du domaine de l’argumentation, portent sur l’évaluation de raisonnements comme le suivant :
Je vous paierai pour votre installation TV (P) seulement si elle marche (M). Or votre installation ne marche pas (non M). Donc je ne vous paierai pas (non P). (Ibid. p. 67)
Si l’on définit la compétence logique comme une capacité à s’abstraire du donné langagier brut pour dégager des formes générales et examiner leurs propriétés, il est clair que l’exercice d’argumentation et l’exercice de logique sont ici une seule et même chose : une compétence logique élémentaire fait partie de la compétence argumentative, comme les compétences arithmétique, géométrie, en physique, etc.